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第40讲不定方程
一、知识要点
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y
＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果
附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：
x＝2.4x＝2.7x＝3.06 x＝3.6
y＝1 y＝1.5y＝2.1 y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究
不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，
然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，
减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练
【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝
23－3x
4
。可列表试验求解：
X 1 2 3 4 5 6 7
Y 5 × × × 2 × ×
所以方程3x+4y＝23的自然数解为
X=1 x=5
Y=5 y=2
练习1
1、求3x+2y＝25的自然数解。
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2
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程
组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①
3x－y－6z＝2 ②
由①×2+②，得13x+13y＝52
X+y＝4 ③
把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.
当x＝1时，y＝3
当x＝2时，y＝2
当x＝3时，y＝1
把上面的结果
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