安徽省六校教育研究会2023-2024学年高三下学期下学期第二次素养测试（2月）数学答案.docx

安徽六校教育研究会2024届高三年级第二次素养测试数学试卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B D A A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ABD ACD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：（1）由 得 ． 由正弦定理得 ， 得 ， 得 ． 因为 ，所以 ， 即 ， 又 ，所以 ． （2）由余弦定理， ， 可得 ， 又 则 16． （15分） 解：（1）取棱 上一点 ，使得 ，连接 ， ，且 ， ，且 ， ，且 又 平面 平面 平面 （2）取 中点 ，连接 ，作 ，垂足为 ， 菱形 中， ， 为等边三角形， 是二面角 的平面角，即 ，且 平面 ，即 又 又 平面 又 平面 平面 分别以为 为 轴的正方向，建立空间直角坐标系 则点 ， 所以 ， 设 平面 ，记 与平面 所成角大小为 ， 由 ，取 ， 综上， 与平面 所成角的正弦值为 ． 17． （15分） 证明：（1）令 则 在 单调递增，所以 即 ； 令 则 在 单调递增，所以 即 所以 ，所以 综上， ； （2）结合第（1）问， 对任意的 恒成立， 令 ，则 ， 即 ． 所以 ． 18． （17分） 解：（1）依据表中数据， ， 依据 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为在不同区域就餐与学生性别 没有 关联． （2）设 “ 第 天去甲餐厅用餐 ” ， “ 第 天去乙餐厅用餐 ” ， “ 第 天去丙餐厅用餐 ” ， 则 两两互灰， ． 根据题意得 ， ． （ ⅰ ）由 ，结合全概率公式，得 ， 因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为 ． （ ⅱ ）记第 天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为 ， 则 ，由全概率公式，得 故 ① 同理 ② ③ ④ 由 ①② ， ， 由 ④ ， ， 代入 ② ，得： ，即 ， 故 是首项为 ，公比为 的等比数列， 即 ， 所以 于是，当 时 综上所述： 19．（17分） 解：（1）由题意可得 ，且 为 的中点， 又 为 的中点， 所以 ，且 ． 因为点 关于点 的对称点为 ，线段 的中垂线与直线 相交于点 ， 由垂直平分线的性质可得 ， 所以 ， 所以由双曲线的定义可得，点 的轨迹是以 为焦点的双曲线． 故曲线 的方程为 （2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ， 联立方程 ，消去 得： ， 则 ， 解得 ，且 ， ① 由 ，得直线 ， 令 ，解得 ，即 ， 同理可得 ， 则 所以 的中点为定点 ．