吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高三下学期开学考试 数学.docx

高三期初考 数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 3 已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 已知椭圆 的上焦点为 ，则 （ ） A. B. 5 C. D. 7 5. 设函数 且 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 第 19 届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神， 5 名大学生将前往 3 个场馆 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆 时，场馆 仅有 2 名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方形 的边长为 1 ，将正方形 绕着边 旋转至 分别为线段 上的动点，且 ，若 ，则 的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 已知双曲线 的离心率为 2 ，左､右顶点分别为 ，右焦点为 ， 是 上位于第一象限的两点， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题 5 分，少选得 2 分，错选 0 分） 9. 下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知 ，若 ，则（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 8 11．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则下列结论正确的是（      ） A． B． 的离心率为 C．曲线 经过 的一个顶点 D． 与 有相同的渐近线 1 2 ．已知数列 ，下列结论正确的有（      ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ，则数列 是等比数列 D．若 为等差数列 的前 项和，则数列 为等差数列 三、填空题（每题 5 分） 13. 已知向量 ，则 在 上的投影向量的坐标为 ______ ． 14. 已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则 ______ ． 15. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 __________ ． 16. 已知椭圆 为 左 ､ 右焦点， 为 上的一个动点（异于左右顶点），设 的外接圆面积为 ，内切圆面积为 ，则 的最小值为 __________ ． 四、解答题 17. 已知集合 ， . （1） 若 ，求实数 的取值范围； （2） 若 ，求实数 的取值范围 . 18. 已知向量 ， ，设函数 . （1） 求 的最小正周期； （2） 当 时，求函数 的最小值 . 19．2021年秋全国中小学实行“双减政策”和“5+2”模式．为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程．甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺．已知甲先手时．甲获胜的概率为 ，乙先手时，乙获胜的概率为 ，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手． (1)若每局负者下一局先手，两人连下3局，求乙至少胜两局的概率； (2)若每局甲都先手，胜者得1分，负者得0分，先得3分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为 ，求 的分布列与数学期望． 20. 设 为数列 的前 项和，已知 为等比数列，且 ． （1） 求数列 的通项公式； （2） 已知 ，设 ，记 为数列 的前 项和，证明： ． 21. 已知正项数列 是公差为2的等差数列，且 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 22 已知函数 ． （1） 当 时，求 的单调区间； （2） 若 是 的极小值点，求 的取值范围． ACACA BAD 9AB 10ABD 11ACD 12 AC 13 14 6 15 16 17 （1） （2） 18 （1） （2） 19. （1）解：设事件 为乙至少胜两局，则乙有负胜胜，胜负胜，胜胜负，胜胜胜四种情况， 所以 ； （2）解：依题意可得 的所有可能结果为 、 、 ， 则 ， ， ， 所以 的分布列为 所以 ； 20 （1） （2） 证明见解析 （ 1 ）由 ，得 ，等比数列 的首项为1公比为 2 ，可得通项； （ 2 ）由 与 的关系，求出 的通项，通过放缩法证明不等式. 【小问1详解】 为数列 的前 项和， ， 则有 ，所以 ，等比数列 的公比为 2 ， 又 ，所以 ； 【小问2详解】 证明：由（ 1 ）知， ，当 时， ， 所以 ，所以 ， 则 ， 因此 ． 21 （1） ；（2） 22 （1） 在 上单调递减 （2）